Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E、F、G分別是AB，BC，B₁C₁的中點，則下列說法正確的是     （寫出所有正確命題的編號）．
①P在直線EF上運動時，GP始終與平面AA₁C₁C平行；
②點Q在直線BC₁上運動時，三棱錐A-D₁QC的體積不變；
③點M是平面A₁B₁C₁D₁上到點�。亢停�距離相等的點，則點M的軌跡是一條直線；
④以正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的任意兩個頂點為端點連一條線段，其中與棱AA₁異面的有10條；
⑤點P是平面ABCD內的動點，且點P到直線A₁D₁的距離與點P到點E的距離的平方差為3，則點P的軌跡為拋物線．

Answer 1

【答案】分析：畫出正方體圖形，
①P在直線EF上運動時，可證面GEF∥平面AA₁C₁C，GP?面GEF，可得結論；
②Q在直線BC₁上運動時，三棱錐A-D₁QC的體積不變；三角形AD₁Q面積不變，C到平面距離不變，體積為定值；
③M是正方體的面A₁B₁C₁D₁內到點D和 C₁距離相等的點，則M點的軌跡是一條線段，線段A₁D₁滿足題意；
④可列舉出所求與棱AA₁異面的直線，故可判斷；
⑤點P是平面ABCD內的動點，且點P到直線A₁D₁的距離與點P到點E的距離的平方差為3，從而可得點P到直線AD的距離的平方=點P到直線A₁D₁的距離平方減去4．
解答：解：①P在直線EF上運動時，EF∥AC，GF∥C₁C，可知面GEF∥平面AA₁C₁C，GP?面GEF，所以①成立；
②Q在直線BC₁上運動時，三棱錐A-D₁QC的體積不變；如圖（2）三角形AD₁Q面積不變，C到平面距離不變，體積為定值，故②正確；
③M是正方體的面A₁B₁C₁D₁內到點D和 C₁距離相等的點，則M點的軌跡是一條線段，線段A₁D₁滿足題意，故正確．
④以正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的任意兩個頂點為端點連一條線段，其中與棱AA₁異面的有BC、BC₁、B₁C、B₁C₁、C₁D₁、B₁D₁、CD、CD₁、C₁D、BD₁、B₁D、BD共12條，故不正確；
⑤點P是平面ABCD內的動點，且點P到直線A₁D₁的距離與點P到點E的距離的平方差為3，
則點P到點E的距離的平方，等于點P到直線A₁D₁的距離的平方減去3
點P到直線AD的距離的平方=點P到直線A₁D₁的距離平方減去4．
所以，點P到點E的距離的平方=點P到直線AD的距離的平方加上1，點P的軌跡是以E為焦點的拋物線的一部分，故正確．
故答案為：①②③⑤．
點評：本題考查棱錐的結構特征，軌跡方程，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．