Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD對角線的交點(diǎn)．
（1）求證：C₁O∥面AB₁D₁；
（2）求異面直線AD₁與 C₁O所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）連接A₁C₁，設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O₁，連接AO₁，利用正方體的性質(zhì)可證明：AOC₁O₁是平行四邊形．
得到C₁O∥AO₁，再利用線面平行的判定定理即可得出C₁O∥平面AB₁D₁．．
（2）連接BC₁，C₁D，可得ABC₁D₁是平行四邊形．由于AD₁∥BC₁，可得∠BC₁O為AC₁與B₁C所成的角．利用正方體的性質(zhì)可得BC₁=C₁D=BD．即可得出．

解答：證明：（1）連接A₁C₁，設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O₁，連接AO₁，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴A₁A

∥

.

CC₁，
∴A₁ACC₁是平行四邊形，
∴A₁C₁∥AC且 A₁C₁=AC．
又O₁，O分別是A₁C₁，AC的中點(diǎn)，
∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO，
∴AOC₁O₁是平行四邊形．
∴C₁O∥AO₁，AO₁?面AB₁D₁，C₁O?面AB₁D₁，
∴C₁O∥平面AB₁D₁．
（2）連接BC₁，C₁D，
∴ABC₁D₁是平行四邊形．
∵AD₁∥BC₁，
∴∠BC₁O為AC₁與B₁C所成的角．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴BC₁=C₁D=BD．
又O是BD的中點(diǎn)，
∴∠BC₁O=30°
∴異面直線AD₁與 C₁O所成角為30°．

點(diǎn)評：本題考查了正方體的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理及其性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)、線面判定定理、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．