Question

【題目】已知數列的首項，對任意的，都有，數列是公比不為的等比數列.

（1）求實數的值；

（2）設數列的前項和為，求所有正整數的值，使得恰好為數列中的項.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據遞推公式求出、，由題意得出，求出的值，結合數列公比不為的等比數列進行檢驗，進而得出實數的值；

（2）求出利用奇偶分組法求出、，設，可得知，從而可知、或為偶數，由結合可推出不成立，然后分和為偶數兩種情況討論，結合的取值范圍可求出符合條件的正整數的值.

（1）由，可知，，，

因為為等比數列，所以，

即，即，解得或，

當時，，所以，則，

所以數列的公比為1，不符合題意；

當時，，所以數列的公比，

所以實數的值為.

（2）由（1）知，所以

則

，

則，

因為，又，

且，，所以，則，設，

則或為偶數，因為不可能，所以或為偶數，

①當時，，化簡得，

即，所以可取值為1，2，3，

驗證，，得，當時，成立.

②當為偶數時，，

設，則，

由①知，當時，；

當時，，所以，所以的最小值為，

所以，令，則，

即，無整數解.

綜上，正整數的值為.