Question

（本小題滿分14分）如圖所示，在四棱錐中，平面，，
，，是的中點.
（1）證明：平面；
（2）若，，，求二面角的正切值.

Answer 1

解：（1）證明：∵平面，∴。
∵，是的中點
∴為△中邊上的高，
∴。
∵，
∴平面。……………………6分
（2）方法1：延長DA、CB相交于點F，連接PF、DB
過點P作PE⊥BC，垂足為E，連接HE
由（1）知平面，則PH⊥BC
又∵PE∩PH=P，∴BC⊥平面PHE，∴BC⊥HE
∴∠PEH就是所求二面角P－BC－D的平面角……………9分
在△FDC中，∵PH＝1，AD＝1，∴PD＝
∵平面，，∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD，∵PC＝，∴CD＝4
∵，∴AB＝2，∴BD＝，
∴AB是△FCD的中位線，FD＝CD
∴BD⊥CF
∴HE＝
∵PH＝1，∴……………14分
方法2：由（1）知平面，如圖建立空間直角坐標系.

∵PH＝1，AD＝1，∴PD＝
∵平面，，∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD，∵PC＝，∴CD＝4
∴
設平面BCD、平面PBC的法向量分別為
則，設
∵，令，則
，設二面角P－BC－D為，
則，故

本試題主要是考查了線面垂直和二面角的求解的綜合運用。
（1）因平面，∴。∵，是的中點
∴為△中邊上的高，∴。∵，
∴平面
（2）延長DA、CB相交于點F，連接PF、DB過點P作PE⊥BC，垂足為E，連接HE
由（1）知平面，則PH⊥BC又∵PE∩PH=P，∴BC⊥平面PHE，∴BC⊥HE
∴∠PEH就是所求二面角P－BC－D的平面角，然后利用解三角形得到結論。