Question

下列命題正確的是（　�。�
①動點M至兩定點A、B的距離之比為常數λ（λ＞0且λ≠1）．則動點M的軌跡是圓．
②橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

2

2

，則b=c(c為半焦距）．
③雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦點到漸近線的距離為b．
④已知拋物線y²=2px上兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB（O為原點），則y₁y₂=-p²．

• A、②③④
• B、①④
• C、①②③
• D、①③

Answer 1

分析：①由圓的性質知此命題成立；②若橢圓的離心率e=

2

2

，則這個橢圓是等軸雙曲線，所以②成立；③雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦點到漸近線的距離d=

|bc-0|

a2+b2

=

bc

c

=b．故③成立．④已知拋物線y²=2px上兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB（O為原點），則y₁y₂=-4p²．故④不成立．

解答：解：①動點M至兩定點A、B的距離之比為常數λ（λ＞0且λ≠1）．則動點M的軌跡是圓．由圓的性質知此命題成立．
②若橢圓的離心率e=

2

2

，則這個橢圓是等軸雙曲線，所以②成立．
③∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一個焦點是（c，0），相應的漸近線方程是bx-ay=0，
∴雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦點到漸近線的距離d=

|bc-0|

a2+b2

=

bc

c

=b．
故③成立．
④已知拋物線y²=2px上兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB（O為原點），則y₁y₂=-4p²．故④不成立．
故選C．

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要熟練掌握圓曲線的基本性質．