Question

【題目】已知等差數列{an}滿足a4=5，a2+a8=14，數列{bn}滿足b1=1，bn+1=2 bn ．
（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（2）求數列{ }的前n項和；
（3）若cn=an（ ） ，求數列{cn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵等差數列{an}滿足a4=5，a2+a8=14，

∴ ，解得a1=﹣1，d=2，

∴an=2n﹣3．

∵數列{bn}滿足b1=1，bn+1=2 bn．

∴ ，∴ ，

以上各式相乘，得 ，

∵b1=1，∴ ．

（2）解：∵ ，

∴數列{ }的前n項和為：

=1﹣ ，

∴ ．

（3）解：∵an=2n﹣3，cn=an（ ） ，

∴ ，

∴ ，①

2Sn=﹣12+122+…+（2n﹣5）2n﹣1+（2n﹣3）2n，②

①﹣②，得 ﹣（2n﹣3）2n

=﹣1+2 ﹣（2n﹣3）2n

=（5﹣2n）2n﹣5，

∴ ．

【解析】（1）由已知條件利用等差數列的通項公式列出方程組求出首項和公差，由此能求出等差數列{an}的通項公式；由已知條件得 ，由此利用累乘法能求出 ．（2）由 ，利用裂項求和法能求出數列{ }的前n項和．（3） ，由此利用錯位相減法能求出數列{cn}的前n項和Sn ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．