【題目】對于在區間
上有意義的函數
，滿足對任意的
，
，有
恒成立，厄稱在上是“友好”的，否則就稱在上是“不友好”的，現有函數
.
（1）若函數在區間
（
）上是“友好”的，求實數
的取值范圍；
（2）若關于
的方程
的解集中有且只有一個元素，求實數的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
試題分析：（1）先化簡不等式恒成立為對應最值問題：
再根據函數單調性確定最值，代入分離化簡得
，最后利用基本不等式求最值，得實數
的取值范圍；（2）化簡方程為一元二次方程，并分解因式得
，討論根的情況并代入定義域進行驗證，即得實數的取值范圍.
試題解析：（1）由題意可得
在
上單調遞減，
故
，
∴
即
，∴
令
（
），則
，則
當
或
時，
，∴
.
又對于任意的
，
，故
綜上，的取值范圍是
（2）
，即
，且
①
∴
，即②
當
時，方程②的解為
，代入①，成立
當
時，方程②的解為，代入①，不成立.
當
且
時，方程②的解為或
將代入①，則
且
，
∴
且，
將代入①，則
，且
所以
且
則要使方程有且僅有一個解，則
，
綜上，若方程的解集中有且僅有一個元素，則的取值范圍為.
狀元坊全程突破導練測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】經統計，某校學生上學路程所需要時間全部介于
與
之間（單位：分鐘）．現從在校學生中隨機抽取
人，按上學所學時間分組如下：第
組
，第
組
，第
組
，第
組
，第
組
，得打如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）根據圖中數據求
的值．
（Ⅱ）若從第，，組中用分成抽樣的方法抽取
人參與交通安全問卷調查，應從這三組中各抽取幾人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若從這人中隨機抽取人參加交通安全宣傳活動，求第組至少有人被抽中的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
.
（1）當
時，求函數
的最大值；
（2）令
，其圖象上存在一點
，使此處切線的斜率
，求實數
的取值范圍；
（3）當
， 
時，方程
有唯一實數解，求正數
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節水方案，對居民用水情況進行了調查，通過抽樣，獲得了某年
位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照
分成
組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求直方圖中的
值；
（2）設該市有
萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于
噸的人數.說明理由；
（3）估計居民月均用水量的中位數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知
平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，
，
，
，
.
（1）求證：
平面BCE；
（2）求證：
平面BCE；
（3）求三棱錐
的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以下四個命題，其中正確的是（ ）
A. 由獨立性檢驗可知，有 99%的把握認為物理成績與數學成績有關，某人數學成績優秀，則他有 99%的可能物理優秀；
B. 兩個隨機變量相關系越強，則相關系數的絕對值越接近于 0；
C. 在線性回歸方程
中，當變量
每增加一十單位時，變量
平均增加 0.2 個單位；
D. 線性回歸方程對應的直線
至少經過其樣本數據點中的一個點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校早上8:00開始上課,假設該校學生小張與小王在早上7:30~7:50之間到校,且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的,則小張比小王至少晚5分鐘到校的概率是多少?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】己知直線2x﹣y﹣1=0與直線x﹣2y+1=0交于點P．
（Ⅰ）求過點P且平行于直線3x+4y﹣15=0的直線
的方程；（結果寫成直線方程的一般式）
（Ⅱ）求過點P并且在兩坐標軸上截距相等的直線
方程（結果寫成直線方程的一般式）
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