Question

【題目】已知A，B分別為橢圓C： + =1（a＞b＞0）在x軸正半軸，y軸正半軸上的頂點，原點O到直線AB的距離為 ，且|AB|= ．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）直線l：y=kx+m（﹣1≤k≤2）與圓x2+y2=2相切，并與橢圓C交于M，N兩點，求|MN|的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由丨AB丨= = ， = ，

解得：a=2，b= ，c=1

則橢圓離心率e= =

（2）解：由（1）可知：橢圓的標準方程： ，設A（x1，y1），B（x2，y2），

則 ，整理得：（3k2+4）x2+6kmx+3m2﹣12=0，

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

由直線l與圓x2+y2=2相切，則 = ，則m2=2（k2+1），

則丨MN丨= = ，

= ，

令3k2+4=t，t∈[4，16]，則丨MN丨= = ，

由 ≤ ≤ ，

∴f（ ）= ，在[ ， ]單調遞增，

則 ≤丨MN丨≤ ，

∴|MN|的取值范圍[ ， ]

【解析】（1）由題意，利用點到直線的距離公式，即可求得a和b的值，利用橢圓的離心率公式，即可求得橢圓C的離心率；（2）利用點到直線的距離公式，m2=2（k2+1），將直線方程代入橢圓方程，根據韋達定理，弦長公式及二次函數的單調性即可求得|MN|的取值范圍．