Question

【題目】△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則： ①若cosBcosC＞sinBsinC，則△ABC一定是鈍角三角形；
②若acosA=bcosB，則△ABC為等腰三角形；
③ ， ，若 ，則△ABC為銳角三角形；
④若O為△ABC的外心， ；
⑤若sin2A+sin2B=sin2C， ，
以上敘述正確的序號是 ．

Answer 1

【答案】①③④⑤
【解析】解：①若cosBcosC＞sinBsinC，則cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）＞0，

即﹣cosA＞0，cosA＜0，則∠A為鈍角，故△ABC一定是鈍角三角形，正確．②若acosA=bcosB，則由正弦定理得2rsinAcosA=2rsinBcosB，即sin2A=sin2B，則2A=2B或2A+2B=180，即A=B或A+B=90°，則△ABC為等腰三角形或直角三角形，錯誤；③ ， ，

則 =tanA+tanB+tanC=（1﹣tanAtanB）tan（A+B）+tanC＞0

tan（A+B）+tanC＞tanAtanBtan（A+B）0＞tanAtanBtan（A+B）

∴必有A+B＞ ，且A，B都為銳角

∴C也必為銳角，

∴△ABC為銳角三角形，正確，④O為△ABC的外心， = （ ﹣ ）= ﹣ ，

=| || |cos＜ ， ＞﹣| || |cos＜ ， ＞= | |2﹣ | |2= （b2﹣c2），正確，⑤若sin2A+sin2B=sin2C，則由正弦定理得a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形，

∴（ ﹣ ）（ ﹣ ）=0，

∴ ﹣ （ + ）+ =0，∴ =﹣2 ，

∵﹣ = + ，∴ 2= 2+ 2+2 ，∴5 2= 2+ 2，即結論成立．

所以答案是①③④⑤．