Question

過拋物線y²=2x的焦點作一條直線與拋物線交于兩點，它們的橫坐標之和等于2，則這樣的直線（　　）

• A、有且只有一條
• B、有且只有兩條
• C、有且只有三條
• D、有且只有四條

Answer 1

分析：過拋物線y²=2x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，先看直線AB斜率不存在時，橫坐標之和等于1，不適合；若直線斜率存在時，利用橫坐標之和等于2，進而設直線AB為y=k（x-1）與拋物線方程聯立消去y，進而根據偉大定理表示出A、B兩點的橫坐標之和，進而求得k．得出結論．

解答：解：過拋物線y²=2x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，
若直線AB的斜率不存在，則橫坐標之和等于1，不適合．
若直線斜率存在時，設直線AB的斜率為k，則直線AB為y=k（x-

1

2

）
代入拋物線y²=2x得，k²x²-（k²+2）x+

1

4

k²=0
∵A、B兩點的橫坐標之和等于2，
∴

k2+2

k2

=2，k²=2，k=±

2

則這樣的直線有且僅有兩條，
故選B．

點評：本題主要考查了拋物線的應用．解題的時候要注意討論直線斜率不存在時的情況，以免遺漏．