Question

橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

2

2

，橢圓右準線與x軸交于E（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若M（2，t）（t＞0），直線x+2y-10=0上有且僅有一點P使

PO

•

PM

=0．求以OM為直徑的圓的方程；
（Ⅲ）設橢圓左、右焦點分別為F₁，F₂，過E點作不與y軸垂直的直線l與橢圓交于A，B兩個不同的點（B在E，A之間）若有

F1A

=λ

F2B

，求此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）設出a，b，c分別為橢圓的半長軸，半短軸及半焦距，根據橢圓的準線方程公式列出a與c的方程記作①，根據離心率列出a與c的方程記作②，聯立①②即可求出a與c的值，根據a²=b²+c²即可求出b的值，由橢圓的中心在原點，利用a與b的值寫出橢圓的標準方程即可．
（II）利用圓和直線相切．利用點到直線的距離公式可可求得圓心坐標和圓的半徑，即可得出以OM為直徑的圓的方程；
（III）由向量平行的關系

F1A

∥

F2B

，可求得

EA

=3

EB

，再設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）從而得出

x1=3x2-4 y1=3y2

，又A，B在橢圓上，代入橢圓方程，即可解出A，B的坐標，從而得到直線方程．

解答：解：（i）設a為半長軸，b為半短軸，c為焦距的一半，
根據題意可知：

a2

c

=2即a²=2c①，

c

a

=

2

2

即a²=2c²②，
把②代入①解得：c=1，
把c=1代入②解得a=

2

，
所以b=1，
又橢圓的中心在原點，則所求橢圓的方程為

x2

2

+y2=1（4分）
（II）即以OM為直徑的圓和直線x+2y-10=0相切．可求得圓心為(1，

t

2

)，半徑為

1+ t2 4

，
所以

|1+t-10|

5

=

1+ t2 4

，解得t=4（負舍）則以OM為直徑的圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=5（9分）
（III）由題：

F1A

∥

F2B

，則有相似比可求得

EA

=3

EB

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）∴（x₁-2，y₁）=3（x₂-2，y₂），∴解得

x1=3x2-4 y1=3y2

又A，B在橢圓上，帶入橢圓方程，有

(3x2-4)2 2 +(3y2)2=1 x22 2 +y22=1

解得

x2= 4 3 y2=± 1 3

∴求得直線方程為y=

1

2

x-1或y=-

1

2

x+1（15分）

點評：本題以橢圓的幾何性質為載體，考查橢圓的標準方程，平面向量數量積的運算，直線與圓錐曲線的關系．關鍵是正確利用公式．