Question

【題目】某保險公司針對一個擁有20000人的企業推出一款意外險產品，每年每位職工只要交少量保費，發生意外后可一次性獲得若干賠償金．保險公司把企業的所有崗位共分為A、B、C三類工種，從事三類工種的人數分布比例如圖，根據歷史數據統計出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計賠付頻率）．

工種類別	A	B	C
賠付頻率

對于A、B、C三類工種職工每人每年保費分別為a元，a元，b元，出險后的賠償金額分別為100萬元，100萬元，50萬元，保險公司在開展此項業務過程中的固定支出為每年10萬元．

（Ⅰ）若保險公司要求利潤的期望不低于保費的20%，試確定保費a、b所要滿足的條件；
（Ⅱ）現有如下兩個方案供企業選擇；
方案1：企業不與保險公司合作，企業自行拿出與保險提供的等額的賠償金額賠付給出險職工；
方案2：企業與保險公司合作，企業負責職工保費的60%，職工個人負責保費的40%，出險后賠償金由保險公司賠付．
若企業選擇翻翻2的支出（不包括職工支出）低于選擇方案1的支出期望，求保費a、b所要滿足的條件，并判斷企業是否可與保險公司合作．（若企業選擇方案2的支出低于選擇方案1的支出期望，且與（Ⅰ）中保險公司所提條件不矛盾，則企業可與保險公司合作．）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設工種A，B，C職工的每份保單保險公司的效益為隨機變量X，Y，Z， 則隨機變量X的分布列為：

X	a	a﹣100×104
P

隨機變量Y的分布列為：

Y	a	a﹣100×104
P

隨機變量Z的分布列為：

Z	b	b﹣50×104
P

保險公司期望收益為 =a﹣10，
=a﹣20，
=b﹣50；
根據要求（a﹣10）×20000×0.6+（a﹣20）×20000×0.3+（b﹣50）×20000×0.1﹣10×104
≥（a×20000×0.6+a×20000×0.3+b×20000×0.1）×0.2，
解得9a+b≥275，
所以每張保單的保費需要滿足9a+b≥275元；
（Ⅱ）若該企業不與保險公司合作，則安全支出，
即賠償金的期望值為
20000×0.6× ×100×104+0.3× ×100×104+0.1× ×50×104=17×20000；
若該企業與保險公司合作，則安全支出，
即保費為20000×（0.6×a+0.3×a+0.1×b）×0.6=（0.9×a+0.1×b）×0.6×20000；
解得9a+b＜283.33，
結果與（Ⅰ）不沖突，所以企業有可能與保險公司合作
【解析】（Ⅰ）設工種A，B，C職工的每份保單保險公司的效益為隨機變量X，Y，Z，寫出隨機變量X、Y、Z的分布列，計算保險公司期望收益EX、EY、EZ；根據要求列出不等式，求出a、b滿足的條件；（Ⅱ）計算企業不與保險公司合作時安全支出（即賠償金的期望值），以及企業與保險公司合作的安全支出（即保費），比較大小．