已知函數
⑴當
時，若函數
存在零點，求實數
的取值范圍并討論零點個數；
⑵當
時，若對任意的
，總存在
，使
成立，求實數
的取值范圍.
⑴實數a的取值范圍是
.當
時，2個零點；當或
，1個零點.
⑵實數m的取值范圍是
解析試題分析：⑴可將
看作一個整體，令
，
所以問題轉化為一個二次函數的問題，結合二次函數的圖象即可得解.
⑵當時，
由此可得：
，記
.
對
，則分
和
兩種情況，求出
在
上的范圍，這個范圍為集合
.因為對任意的，總存在，使成立，所以
，由此可得一不等式組，解這個不等式組即可得
的取值范圍.
試題解析：⑴令，
函數
圖象的對稱軸為直線
，要使
在
上有零點，
則
即
所以所求實數a的取值范圍是. 3分
當時，2個零點；當或，1個零點 7分
⑵當時，
所以當
時，，記.
由題意，知
，當時，在上是增函數，
，記
.
由題意，知
解得
9分
當時，在上是減函數，
，記
.
由題意，知
解得
11分
綜上所述，實數m的取值范圍是 ..12分
考點：1、函數的零點；2、函數的最值；3、不等關系.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設建造成本僅與表面積有關，側面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率)．
(1)將V表示成r的函數V(r)，并求該函數的定義域；
(2)討論函數V(r)的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
的自變量的取值區間為A，若其值域區間也為A，則稱A為的保值區間.
（Ⅰ）求函數
形如
的保值區間；
（Ⅱ）函數
是否存在形如
的保值區間？若存在，求出實數
的值，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．
（1）據市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？
（2）為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到
元．公司擬投入
萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入
萬元作為浮動宣傳費用．試問：當該商品明年的銷售量
至少應達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某廠家準備在2013年12月份舉行促銷活動，依以往的數據分析，經測算，該產品的年銷售量
萬件(假設該廠生產的產品全部銷售)，與年促銷費用
萬元
近似滿足
，如果不促銷，該產品的年銷售量只能是1萬件．已知2013年生產該產品的固定投入10萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元．廠家將每件產品的銷售價格規定為每件產品成本的1.5倍．(產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．
（1）將2013年該產品的年利潤
萬元表示為年促銷費用萬元的函數；
（2）該廠家2013年的年促銷費用投入為多少萬元時，該廠家的年利潤最大？并求出年最大利潤．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
一種放射性元素，最初的質量為
，按每年
衰減.
（1）求
年后，這種放射性元素的質量
與
的函數關系式；
（2）求這種放射性元素的半衰期（質量變為原來的
時所經歷的時間）.（
）
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的定義域為集合
.
的定義域也為集合
的值域為
，求
；
,若
,求實數
的取值范圍.
，
，其中
.函數
在區間
上有最大值為4,設
.
的值；
在
上恒成立，求實數
的取值范圍.
