Question

定義全集U的子集A的特征函數為f_A（x）=

1，x∈A 0，x∈CUA

，這里?_UA表示集合A在全集U中的補集，已A⊆U，B⊆U，給出以下結論中不正確的是（　　）

A．若A?B，則對于任意x∈U，都有f_A（x）≤f_B（x）

B．對于任意x∈U，都有fCUA（x）=1-f_A（x）

C．對于任意x∈U，都有f_A∩B（x）=f_A（x）?f_B（x）

D．對于任意x∈U，都有f_A∪B（x）=f_A（x）?f_B（x）

Answer 1

分析：根據題中特征函數的定義，利用集合的交集、并集和補集運算法則，對A、B、C、D各項中的運算加以驗證，可得A、B、C都可以證明它們的正確性，而D項可通過反例說明它不正確．由此得到本題答案．

解答：解：由題意，可得
對于A，因為A⊆B，可得x∈A則x∈B，
∵f_A（x）=

1，x∈A 0，x∈CUA

，f_B（x）=

1，x∈B 0，x∈CUB

，
而C_UA中可能有B的元素，但C_UB中不可能有A的元素
∴f_A（x）≤f_B（x），
即對于任意x∈U，都有f_A（x）≤f_B（x）故A正確；
對于B，因為f CUA=

1，x∈CUA 0，x∈A

，
結合f_A（x）的表達式，可得f CUA=1-f_A（x），故B正確；
對于C，f_A∩B（x）=

1，x∈A∩B 0，x∈CU(A∩B)

=

1，x∈A∩B 0，x∈(CUA)∪(CUB)

=

1，x∈A 0，x∈CUA

•

1，x∈B 0，x∈CUB

=f_A（x）•f_B（x），
故C正確；
對于D，f_A∪B（x）=

1，x∈A∪B 0，x∈CU(A∪B)

當某個元素x在A中但不在B中，由于它在A∪B中，故f_A∪B（x）=1，
而f_A（x）=1且f_B（x）=0，可得f_A∪B（x）≠f_A（x）•f_B（x）
由此可得D不正確．
故選：D

點評：本題給出特征函數的定義，判斷幾個命題的真假性，著重考查了集合的運算性質和函數對應法則的理解等知識，屬于中檔題．