Question

（2009•西安二模）已知函數(shù)f(x)=2

3

sin(x-

π

6

)cos(x-

π

6

)-1+2cos2(x-

π

6

)
（1）求f（x）的最大值及相應的x的取值集合；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為 2sin（2x-

π

6

），顯然函數(shù)f（x）的最大值為2，此時 2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z，由此求得x的集合．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得x的范圍，即可得到函數(shù)的增區(qū)間．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=2

3

sin(x-

π

6

)cos(x-

π

6

)-1+2cos2(x-

π

6

)=

3

sin（2x-

π

3

）+cos（2x-

π

3

）=2sin（2x-

π

3

+

π

6

）=2sin（2x-

π

6

）．
顯然函數(shù)f（x）的最大值為2，此時，sin（2x-

π

6

）=1，可得 2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z．
解得 x的集合為{x|x=kπ+

π

3

，k∈z}．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

6

≤2x-

π

6

≤kπ+

π

3

，k∈z，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，復合三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．