Question

（2009•西安二模）已知O是△ABC內一點，向量

OA

，

OB

，

OC

滿足

OA

+2

OB

+

OC

=

0

，則S_△OAB：S_△OBC：S_△OAC等于（　　）

A．1：2：3

B．3：2：1

C．1：3：6

D．1：1：2

Answer 1

分析：設D為AC中點，連結OD，由向量加法法則和已知條件向量等式，可得

OD

=-

OB

=

1

2

（

OA

+

OC

），從而得到B、O、D三點共線，且O為BD的中點．由三角形中線的性質，可得S_△OAB=S_△OBC=S_△OAD=S_△OCD=

1

2

S_△OAC，由此即可算出S_△OAB：S_△OBC：S_△OAC的值，從而得到本題答案．

解答：解：設D為AC中點，連結OD，則
∵OD是△OBC的中線，
∴向量

OD

=

1

2

（

OA

+

OC

）
∵由已知得

OA

+2

OB

+

OC

=

0

∴向量

OB

=-

1

2

（

OA

+

OC

）
因此可得：

OD

=-

OB

，
即B、O、D三點共線，且O為BD的中點
∴△ABD中，AO是BD邊上的中線，可得S_△OAB=S_△OAD．
同理可得△BCD中，S_△OBC=S_△OCD
∴S_△OAB=S_△OBC=S_△OAD=S_△OCD=

1

2

S_△OAC
由此可得S_△OAB：S_△OBC：S_△OAC=1：1：2
故選：D

點評：本題給出三角形ABC內部一點O滿足的向量等式，求O與三角形的三個頂點構成三角形的面積比．著重考查了平面向量的加法法則、三角形中線的性質和求三角形面積比的方法等知識，屬于中檔題．