Question

（2013•廣西一模）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c（其中a≤b≤c），設向量

m

=(cosB，sinB)，

n

=(0， 

3

)，且向量

m

-

n

為單位向量．
（1）求∠B的大小；
（2）若b=

3

， a=1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據向量

m

=(cosB，sinB)，

n

=(0， 

3

)，且向量

m

-

n

為單位向量，可得cos2B+(sinB-

3

)2=1，由于B為三角形的內角，由a≤b≤c，故可得∠B的大小；
（2）根據正弦定理得

1

sinA

=

3

sin π 3

，結合a≤b≤c，可得A=

π

6

，從而C=

π

2

，故可求△ABC的面積．

解答：解：（1）∵

m

-

n

=(cosB， sinB-

3

)，向量

m

-

n

為單位向量--------------------（2分）
∴cos2B+(sinB-

3

)2=1--------------------（4分）
∴sinB=

3

2

又B為三角形的內角，由a≤b≤c，故B=

π

3

--------------------（6分）
（2）根據正弦定理，知

a

sinA

=

b

sinB

，即

1

sinA

=

3

sin π 3

，
∴sinA=

1

2

，又a≤b≤c，∴A=

π

6

--------------------（9分）
∵B=

π

3

，∴C=

π

2

，
∴△ABC的面積=

1

2

ab=

3

2

----------------------（12分）

點評：本題以向量為載體，考查向量的數量積運算，考查正弦定理的運用，有一定的綜合性．