Question

【題目】（本小題滿分12分）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中=，=

（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與，哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（III）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為，根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題：

（Ⅰ）當(dāng)年宣傳費(fèi)時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值時(shí)多少？

（Ⅱ）當(dāng)年宣傳費(fèi)為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù),，……，,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：

，

Answer 1

【答案】（Ⅰ）適合作為年銷售關(guān)于年宣傳費(fèi)用的回歸方程類型；（Ⅱ）；（Ⅲ）46.24

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)散點(diǎn)圖，即可判斷出結(jié)論，建立線性回歸方程，求出d、c的值；

(Ⅱ)先建立中間量w=，建立y關(guān)于w的線性回歸方程，根據(jù)公式求出w，問題得以解決；

(Ⅲ) （ⅰ）由(Ⅱ)知可計(jì)算出年銷售量y的預(yù)報(bào)值與年利潤z的預(yù)報(bào)值；

（ⅱ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果知，可得年利潤z的函數(shù)，求出年利潤的最大值.

解：(Ⅰ)由散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+d適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型.

(Ⅱ)令w=,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程.由于

所以y關(guān)于w的線性回歸方程為=100.6+68w,

因此y關(guān)于x的回歸方程為=100.6+68.

(Ⅲ) （ⅰ）由(Ⅱ)知,當(dāng)x=49時(shí),年銷售量y的預(yù)報(bào)值

=100.6+68=576.6,

年利潤z的預(yù)報(bào)值=576.6×0.2-49=66.32.

（ⅱ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報(bào)值

=0.2（100.6+68）-x=-x+13.6+20.12,

∴當(dāng)=即x=46.24時(shí)取最大值.

故宣傳費(fèi)用為46.24千元時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大.