Question

已知數列{f（n）}的前n項和為S_n，且S_n=n²+2n．
（1）求數列{f（n）}通項公式；
（2）若a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）（n∈N*），求證數列{a_n+1}是等比數列，并求數列{a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=n²+2n知，數列{f（n）}是一個等差數列，由公式Sn=（a₁-

d

2

）×n+

d

2

n²知公差為2，首項為3，
（2）中的題由將（1）的結論代入可知，a₁=3，a_n+1=f（a_n）=2a_n+1，此數列可構造為a_n+1+1=2（a_n+1）可得出其為首項是4，公比為2的等比數列

解答：解：（1）∵S_n=n²+2n，∴數列{f（n）}是一個等差數列，
由等差數列前n項和公式S_n=（a₁-

d

2

）×n+

d

2

n²知公差為2，首項為3
∴f（n）=2n+1；
（2）由題意a₁=f（1）=3，a_n+1=f（a_n）=2a_n+1（n∈N*），
∵a_n+1+1=2（a_n+1）（n∈N*），
∴數列{a_n+1}是以a₁+1=4為首項，以2為公比的等比數列．
∴a_n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，即a_n=2ⁿ⁺¹-1
∴數列{a_n}的前n項和T_n=

4×(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺²-n-4

點評：本題（1）是一個基本題，考查等差數列前n項和公式比較基本；（2）需要整理觀察，要求有一定的觀察配形的能力．