Question

設函數的定義域是，對于任意的，有，且當時，.

（1）求的值；

（2）判斷函數的奇偶性；

（3）用函數單調性的定義證明函數為增函數；

（4）若恒成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）奇函數；（3）詳見解析；（4）.

【解析】

試題分析：（1）采用附值法，令代入即可求出；（2）先說明函數的定義域關于原點對稱，然后令得到，然后可化成，可判斷函數為奇函數；（3）設，則，所以，從而利用單調性的定義證出函數在上為增函數；（4）先將不等式轉化成，再由函數的單調遞增性，又轉化為，再分離參數得不等式，該不等式恒成立等價于，求出的最小值即可求出的取值范圍.

試題解析：（1）取得， 2分

(2)函數為奇函數，理由如下：已知函數的定義域為

取代入，得，又，則

即為奇函數 5分

（3）證明：設且，則

由知，，則

則函數為上的增函數 9分

（4）由恒成立，又即為奇函數

得：恒成立。又函數為R上的增函數

得恒成立 11分

即恒成立

設：

令，則，即，知時，

則，即實數的取值范圍為 14分.

考點：1.抽象函數的問題；2.函數的奇偶性；3.函數的單調性.