【題目】如圖所示，在長方體
中，
，點E是棱
上的一個動點，若平面
交棱
于點
，給出下列命題：
①四棱錐
的體積恒為定值；
②存在點
，使得
平面
；
③對于棱上任意一點，在棱
上均有相應的點
，使得
平面
；
④存在唯一的點，使得截面四邊形
的周長取得最小值.
其中真命題的是____________．（填寫所有正確答案的序號）
【答案】①②④
【解析】
對①,將四棱錐
分成兩部分
與
分析即可
對②,根據線面垂直的判定,注意用到
再利用線面垂直與線線垂直的判定即可.
對③,舉出反例即可.
對④,四邊形
的周長
,展開長方體分析最值即可.
對①,
,又三棱錐
底面
不變,且因為
∥底面,故
到底面的距離即
上的高長度不變.故三棱錐體積一定,即四棱錐的體積恒為定值,①正確.
對②,因為
,且長方體
,故四邊形
為正方形,
故.要
平面
則只需
,又
,故只需
面
.
又
平面,故只需
即可.因為
,故當
時存在點,使得,即平面.故②正確.
對③,當在
時總有
與平面
相交,故③錯誤.
對④,四邊形的周長,分析
即可.
將矩形
沿著展開使得
在
延長線上時,此時的位置設為
,則線段
與的交點即為使得截面四邊形的周長取得最小值時的唯一點.故④正確.
故答案為：①②④
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，右焦點為
，以原點
為圓心，橢圓
的短半軸長為半徑的圓與直線
相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，過定點
的直線
交橢圓于
兩點，連接
并延長交于
，求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
對于各項均為整數的數列
，如果
(
=1，2，3，…)為完全平方數，則稱數
列具有“
性質”．
不論數列是否具有“性質”，如果存在與不是同一數列的
，且同
時滿足下面兩個條件：①
是
的一個排列；②數列具有“性質”，則稱數列具有“變換性質”．
（I）設數列的前
項和
，證明數列具有“性質”；
（II）試判斷數列1，2，3，4，5和數列1，2，3，…，11是否具有“變換性質”，具有此性質的數列請寫出相應的數列，不具此性質的說明理由；
（III）對于有限項數列
：1，2，3，…，，某人已經驗證當
時，
數列具有“變換性質”，試證明：當”
時，數列也具有“變換性質”．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】用0，1，2，3，4，5這六個數字組成無重復數字的四位數.
（1）在組成的四位數中，求所有偶數的個數；
（2）在組成的四位數中，求比2430大的個數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
（
）的離心率
，直線
被以橢圓
的短軸為直徑的圓截得的弦長為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）過點
的直線
交橢圓于
， 
兩個不同的點，且
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
過點
，其參數方程為
（
為參數， 
），以
為極點， 
軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線
的普通方程和曲線
的直角坐標方程；
（2）求已知曲線
和曲線
交于
兩點，且
，求實數
的值.
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