Question

已知(

x

+

1

2 x

)n展開式的前三項系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求n的值；
（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；
（3）求展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析：（1）利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，根據(jù)已知條件列出方程2×

C 1 n

2

=

C 0 n

20

+

C 2 n

22

，解方程求出n的值．
（2）由二項展開式中中間項的二項式系數(shù)最大，根據(jù)n=8時展開式中共有9項，利用二項展開式的通項公式展開式中二項式系數(shù)最大的項．
（3）令展開式中第r+1項的系數(shù)最大，令

C r 8 2r ≥ C r-1 8 2r-1 C r 8 2r ≥ C r+1 8 2r+1

求出r的值，代入展開式的通項公式即得到展開式中系數(shù)最大的項．

解答：解：（1）Tr+1=

C r n

2r

x

n

2

-r，
2×

C 1 n

2

=

C 0 n

20

+

C 2 n

22

，
解得n=8
（2）因為二項展開式中中間項的二項式系數(shù)最大，
因為n=8，
所以展開式中共有9項，
所以展開式中二項式系數(shù)最大的項T5=

35

8

（3）令展開式中第r+1項的系數(shù)最大，所以

C r 8 2r ≥ C r-1 8 2r-1 C r 8 2r ≥ C r+1 8 2r+1

解得2≤r≤3
∴r=2，3
∴展開式中系數(shù)最大的項為：T₃=7x² ，T₄=7x

點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題；考查二項展開式的二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．