Question

如圖，在三棱錐中，底面，點，分別在棱上，且 

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）當為的中點時，求與平面所成的角的正弦值；
（Ⅲ）是否存在點使得二面角為直二面角？若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）只需證PA⊥BC，AC⊥BC即可；（2）；（3）故存在點E使得二面角是直二面角，此時。

試題分析：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.             4分
（Ⅱ）∵D為PB的中點，DE//BC，
∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP為等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，
∴與平面所成的角的大小.                9分
（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP為二面角的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴
∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC，這時，
故存在點E使得二面角是直二面角.
此時        14分
點評：本題主要考查了直線與平面所成的角以及二面角，屬立體幾何中的常考題型，較難．充分考查了學生的邏輯推理能力，空間想象力，以及識圖能力。