Question

已知△ABC中，BC邊上的高所在的直線方程為x-2y+1=0，∠A的角平分線所在的直線方程為y=0，點C的坐標為（1，2）．
（Ⅰ）求點A和點B的坐標；
（Ⅱ）又過點C作直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于點M，N，求△MON的面積最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）列方程組

x-2y+1=0 y=0

求出A點坐標，根據兩直線垂直的條件求出BC、AB所在的直線方程，然后解方程組

x+y+1=0 2x+y-4=0

得B的坐標；
（II）若直線分別與x軸、y軸的負半軸交于A，B兩點，說明直線的斜率小于0，設出斜率根據直線過的C點，寫出直線方程，求出△AOB面積的表達式，利用基本不等式求出面積的最小值，即可得到面積最小值的直線的方程．

解答：解：（Ⅰ）因為點A在BC邊上的高x-2y+1=0上，又在∠A的角平分線y=0上，所以解方程組

x-2y+1=0 y=0

得A（-1，0）．
∵BC邊上的高所在的直線方程為x-2y+1=0，
∴k_BC=-2，
∵點C的坐標為（1，2），所以直線BC的方程為2x+y-4=0，
∵k_AC=-1，∴k_AB=-k_AC=1，所以直線AB的方程為x+y+1=0，
解方程組

x+y+1=0 2x+y-4=0

得B（5，-6），
故點A和點B的坐標分別為（-1，0），（5，-6）．    
（Ⅱ）依題意直線的斜率存在，設直線l的方程為：y-2=k（x-1）（k＜0），則M(

k-2

k

，0)，N(0，2-k)，所以S△MON=

1

2

•

k-2

k

•(2-k)=

1

2

(4-k-

4

k

)≥

1

2

[4+2

- 1 k •(-4k)

]=4，
當且僅當k=-2時取等號，所以（S_△AOB）_min=4，此時直線l的方程是2x+y-4=0．

點評：本題是中檔題，考查三角形面積的最小值的求法，基本不等式的應用，考查計算能力，轉化思想的應用．