Question

【題目】設拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，點M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點（0，2），則C的方程為（ ）
A.y2=4x或y2=8x
B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x
D.y2=2x或y2=16x

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵拋物線C方程為y2=2px（p＞0），
∴焦點F坐標為（ ，0），可得|OF|= ，
∵以MF為直徑的圓過點（0，2），
∴設A（0，2），可得AF⊥AM，
Rt△AOF中，|AF|= = ，
∴sin∠OAF= = ，
∵根據拋物線的定義，得直線AO切以MF為直徑的圓于A點，
∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF= = ，
∵|MF|=5，|AF|=
∴ = ，整理得4+ = ，解之可得p=2或p=8
因此，拋物線C的方程為y2=4x或y2=16x．
故選：C．
方法二：
∵拋物線C方程為y2=2px（p＞0），∴焦點F（ ，0），
設M（x，y），由拋物線性質|MF|=x+ =5，可得x=5﹣ ，
因為圓心是MF的中點，所以根據中點坐標公式可得，圓心橫坐標為 = ，
由已知圓半徑也為 ，據此可知該圓與y軸相切于點（0，2），故圓心縱坐標為2，則M點縱坐標為4，
即M（5﹣ ，4），代入拋物線方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．
所以拋物線C的方程為y2=4x或y2=16x．
故答案C．

根據拋物線方程算出|OF|= ，設以MF為直徑的圓過點A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|= ．再由直線AO與以MF為直徑的圓相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立關系式，從而得到關于p的方程，解之得到實數p的值，進而得到拋物線C的方程．