Question

（08年華師一附中二次壓軸理）甲、乙兩人玩猜子游戲，每次甲出1子，2子或3子，由乙猜.若乙猜中，則甲所出之子歸乙；若乙未猜中，則乙付給甲1子.已知甲出1子、2子或3子的概率分別為，，.

(Ⅰ)若乙每次猜1子，2子，3子的概率均為，求乙每次贏得子數的期望；

(Ⅱ)不論乙每次猜1子，2子，3子的概率如何，在一次游戲中甲、乙兩人誰獲勝的概率更大？試計算并證明之.

Answer 1

解析：(Ⅰ)設乙每次贏得的子數為ξ，則ξ的所有可能值為－1，1，2，3.

記事件A_i=甲出i子，事件B_i=乙猜甲出i子，i=1，2，3，則A_i，B_j為相互獨立事件

∴P(ξ=i)=P(A_iB_i)=P(A_i)P(B_i)(i=1，2，3)

∴P(ξ=1) =P(A₁)P(B₁)=×=

P(ξ=2) =P(A₂)P(B₂)=×=

P(ξ=3) =P(A₃)P(B₃)=×=

∴P(ξ=－1)=1－P(ξ=1)－P(ξ=2)－P(ξ=3)=

∴ξ的分布列為

ξ	－1	1	2	3
P

Eξ=－1×+1×+2×+3×=－

(Ⅱ)∵乙獲勝的概率P=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)

=P(A₁)?P(B₁)+P(A₂)?P(B₂)+P(A₃)?P(B₃)

∴甲勝利的概率更大