Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為菱形且∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=2

3

，E為PC的中點．
（1）求直線DE與平面PAC所成角的大小；
（2）求C點到平面PBD的距離．

Answer 1

（1）如圖，連AC，BD交于點O，又由底面ABCD為菱形可得BD⊥AC，且點O是AC的中點，連接OE，又E為PC的中點，所以EO∥PA．
由PA⊥底面ABCD，可得EO⊥底面ABCD
以O(shè)為原點，OA，OB，OE分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系
則有O（0，0，0），A（

3

，0，0），B（0，1，0），C（-

3

，0，0），D（0，-1，0），P（

3

，0，2

3

），E（0，0，

3

）
依題意得

DB

=(0，2，0)即為平面PAC的一個法向量
又

DE

=(0，1，

3

)，所以cos＜

DB

，

DE

＞=

2

2×2

=

1

2

所以＜

DB

，

DE

＞=60°直線DE與平面PAC所成角的大小為30°
（2）由（1）知，

DB

=(0，2，0)，

DP

=(

3

，1，2

3

)，

CD

=(

3

，-1，0)
設(shè)

n

=(x，y，z)為平面PBD的一個法向量
由

n

⊥

DB

與

n

⊥

DP

得

2y=0 3 x+y+2 3 z=0

令x=1，取

n

=(1，0，-2)∴C點到平面PBD的距離為d，
則d=

| CD • n |

| n |

=

3

5

=

3 5

5

．