Question

【題目】已知函數f（x）= +alnx﹣2，曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=x+3垂直．
（1）求實數a的值；
（2）記g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R），若函數g（x）在區間[e﹣1 ， e]上有兩個零點，求實數b的取值范圍；
（3）若不等式πf（x）＞（ ）1+x﹣lnx在|t|≤2時恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函 數 f（ x） 的 定 義 域 為 （ 0，+∞），f′（ x）= ．

∵曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=x+3垂直，

∴f′（ 1）=﹣2+a=﹣1，解 得 a=1．

（2）解：g（ x）= +lnx+x﹣2﹣b（ x＞0），g′（ x）= ，

由 g′（ x）＞0，得 x＞1，由 g′（ x）＜0，得 0＜x＜1，

∴g（ x） 的 單 調 遞 增 區 間 是 （ 1，+∞），單 調 遞 減 區 間 為 （ 0，1），

當 x=1 時，g（ x） 取 得 極 小 值 g（ 1），

∵函 數 g（ x） 在 區 間[e﹣1，e]上 有 兩 個 零 點，∴

，解得1 ，

∴b 的 取 值 范 圍 是 （ 1， +e﹣1]；

（3）解：∵π f（x）＞（ ）t+x﹣lnx 在|t|≤2 時 恒 成 立，∴f（ x）＞﹣t﹣x+lnx，

即xt+x2﹣2x+2＞0 在|t|≤2 時 恒 成 立，令 g（ t）=xt+x2﹣2x+2，（x＞0），

∴只 需 g（﹣2）＞0，即 x2﹣4x+2＞0

解 得x∈（ 0，2﹣ ）∪（2+ ，+∞）

【解析】（1）根據導數的幾何意義，得 f′（ 1）=﹣1，解得a，（2）g（ x）= +lnx+x﹣2﹣b（ x＞0），g′（ x）= ，可得當 x=1 時，g（ x） 取 得 極 小 值 g（ 1）；可得函 數 g（ x） 在 區 間[e﹣1，e]上 有 兩 個 零 點， ，解得實數b的取值范圍； （3）π f（x）＞（ ）t+x﹣lnx 在|t|≤2 時 恒 成 立，f（ x）＞﹣t﹣x+lnx，即t+x2﹣2x+2＞0 在|t|≤2 時 恒 成 立，令 g（ t）=xt+x2﹣2x+2，x＞0，只 需 g（﹣2）＞0，即可

【考點精析】通過靈活運用函數的最大(小)值與導數，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．