Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B是橢圓C的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，ΔOFB的面積為，橢圓C上的兩點(diǎn)H、G關(guān)于原點(diǎn)O對稱，且、的等差中項(xiàng)為2

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在過點(diǎn)M（2，1）的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P、Q，且使得成立？若存在，試求出直線的方程；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；

【解析】

（1）由等差中項(xiàng)的性質(zhì)和橢圓的對稱性知，求出．通過三角形的面積以及，推出，，

得到橢圓的方程．

（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線與橢圓相切，不滿足條件，設(shè)，，，，直線的方程為，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理．向量關(guān)系．轉(zhuǎn)化求解即可．

（1）由等差中項(xiàng)的性質(zhì)和橢圓的對稱性知，，．

又，，

又，，，，

故橢圓的方程為．

（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線與橢圓相切，不滿足條件，

故可設(shè)，，，，直線的方程為，

代入橢圓方程得，

則，，

△，．

，即，

，即，

，

解得，又，

存在滿足條件的直線，其方程為．