Question

已知正數x,y,z滿足5x+4y+3z=10.
(1)求證:++≥5.
(2)求+的最小值.

Answer 1

(1)見解析   (2) 18

(1)根據柯西不等式,得
[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)](++)≥(5x+4y+3z)²,
當且僅當==,
即x=,y=,z=時取等號.
因為5x+4y+3z=10,
所以++≥=5.
(2)根據平均值不等式,得
+≥2=2·,
當且僅當x²=y²+z²時,等號成立.
根據柯西不等式,得
(x²+y²+z²)(5²+4²+3²)≥(5x+4y+3z)²=100,
即x²+y²+z²≥2,當且僅當==時,
等號成立.
綜上,+≥2·3²=18.
當且僅當x=1,y=,z=時,等號成立.
所以+的最小值為18.