Question

當x∈（1，2）時，不等式x²+mx+4＜0恒成立，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：①構造函數：f（x）=x²+mx+4，x∈[1，2]．②討論 對稱軸x=-

m

2

＞

3

2

或-

m

2

＜

3

2

時f（x）的單調性，得f（1），f（2）為兩部分的最大值若滿足f（1），f（2）都小于等于0即能滿足x∈（1，2）時f（x）＜0，由此則可求出m的取值范圍

解答：解：法一：根據題意，構造函數：f（x）=x²+mx+4，x∈[1，2]．由于當x∈（1，2）時，不等式x²+mx+4＜0恒成立．
則由開口向上的一元二次函數f（x）圖象可知f（x）=0必有△＞0，
①當圖象對稱軸x=-

m

2

≤

3

2

時，f（2）為函數最大值當f（2）≤0，得m解集為空集．
②同理當-

m

2

＞

3

2

時，f（1）為函數最大值，當f（1）≤0可使 x∈（1，2）時f（x）＜0．
由f（1）≤0解得m≤-5．綜合①②得m范圍m≤-5
法二：根據題意，構造函數：f（x）=x²+mx+4，x∈[1，2]．由于當x∈（1，2）時，不等式x²+mx+4＜0恒成立
即

f(1)≤0 f(2)≤0

解得

m≤-4 m≤-5

即 m≤-5
故答案為 m≤-5

點評：本題考查二次函數圖象討論以及單調性問題．