Question

【題目】已知函數f（x）=alnx（a＞0），e為自然對數的底數．
（Ⅰ）若過點A（2，f（2））的切線斜率為2，求實數a的值；
（Ⅱ）當x＞0時，求證：f（x）≥a（1﹣）；
（Ⅲ）在區間（1，e）上＞1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解答：（I）函數的f（x）的導數f′（x）=，
∵過點A（2，f（2））的切線斜率為2，
∴f′（2）==2，解得a=4．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；
則函數的導數g′（x）=a（-）．
令g′（x）＞0，即a（-）＞0，解得x＞1，
∴g（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
∴g（x）最小值為g（1）=0，
故f（x）≥a（1﹣）成立．
（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，則h′（x）=﹣1，
令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分）
當a＞e時，h（x）在（1，e）是增函數，所以h（x）＞h（1）=0．
當1＜a≤e時，h（x）在（1，a）上遞增，（a，e）上遞減，
∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．
當a≤1時，h（x）在（1，e）上遞減，則需h（e）≥0，
∵h（e）=a+1﹣e＜0不合題意．
綜上，a≥e﹣1
【解析】（Ⅰ）求函數的導數，根據函數導數和切線斜率之間的關系即可求實數a的值；
（Ⅱ）構造函數，利用導數證明不等式即可；
（Ⅲ）利用參數分離法結合導數的應用即可得到結論。