Question

【題目】已知，對于，均有，則實數的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

利用條件轉化為f（x）≤m（x+1）+2，即f（x）的圖象不高于直線y＝m（x+1）+2的圖象，求出函數f（x）＝ln（x+1）過點（﹣1，2）的切線方程，利用數形結合進行求解即可．

若x∈[﹣1，+∞），均有f（x）﹣2≤m（x+1），得x∈[﹣1，+∞），均有f（x）≤m（x+1）+2

即f（x）的圖象不高于直線y＝m（x+1）+2的圖象，直線y＝m（x+1）+2過定點（﹣1，2），

作出f（x）的圖象，由圖象知f（﹣1）＝2，

設過（﹣1，2）與f（x）＝ln（x+1）（x>0）相切的直線的切點為（a，ln（a+1）），（a>0）

則函數的導數f′（x），即切線斜率k，

則切線方程為y﹣ln（a+1）（x﹣a），

即yxln（a+1），

∵切線過點（﹣1，2），

∴2ln（a+1）＝﹣1+ln（a+1）

即ln（a+1）＝3，

則a+1＝e3，

則a＝e3﹣1，

則切線斜率k

要使f（x）的圖象不高于直線y＝m（x+1）+2的圖象，

則m≥k，

即實數m的取值范圍是[，+∞），

故選：B．