Question

已知雙曲線2x²-2y²=1的兩個焦點為F₁，F₂，P為動點，若|PF₁|+|PF₂|=4．
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）求cos∠F₁PF₂的最小值．

Answer 1

解：（1）依題意雙曲線方程可化為-=1，
則|F₁F₂|=2，
∴|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2．
∴點P的軌跡是以F₁，F₂為焦點的橢圓，
其方程可設為+=1
（a＞b＞0）．
由2a=4，2c=2，
得a=2，c=1，
∴b²=4-1=3．則所求橢圓方程為+=1，
故動點P的軌跡E的方程為+=1．
（2）設|PF₁|=m＞0，
|PF₂|=n＞0，∠F₁PF₂=θ，
則由m+n=4，|F₁F₂|=2，
可知在△F₁PF₂中，
cosθ===-1
∵m+n=4≥2
∴mn≤4
∴cosθ≥-1=
cos∠F₁PF₂的最小值是
分析：（1）解出|F₁F₂|=2，由橢圓的定義知，點P的軌跡是以F₁，F₂為焦點的橢圓，依定義寫出標準方程．
（2）在△F₁PF₂中，利用余弦定理將cos∠F₁PF₂用mn表示出來，根據其形式應選擇用基本不等式求出它的最小值．
點評：（1）考查橢圓的定義與橢圓的標準方程；（2）考查余弦定理與基本不等式求最值．是圓錐曲線與解三角形基本不等式知識的一個綜合題，知識覆蓋面較廣．