Question

教材上一例問題如下：
一只紅鈴蟲的產卵數y和溫度x有關，現收集了7組觀測數據如下表，試建立y與x之間的回歸方程．

溫度x/℃	21	23	25	27	29	32	35
產卵數y/個	7	11	21	24	66	115	325

某同學利用智能手機上的Mathstudio軟件研究它時（如圖所示），分別采用四種模型，所得結果如下：

	①	②	③	④
模型	y=ax+b	y=aebx	y=ax2+c	y=ax3+bx2+cx+d
計算結果	a=19.87 b=-463.731 v=0.864	a=0.015 b=0.284 v=0.993	a=0.367 c=-202.171 v=0.896	a=0.271 b=-20.171 c=801.638 v=0.995

根據上表，易知當選擇序號為______的模型是，擬合效果較好．

Answer 1

根據收集的數據，作散點圖，如圖．
從圖中可以看出，樣本點并沒有分布在某個帶狀區域內，
因此兩個變量不呈線性相關關系，
所以不能直接利用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關系，
根據已有的函數知識，可以發現樣本點分布在某一條指數函數曲線y=ae^bx的附近，其中a，b為待定的參數．
我們可以通過對數變換把指數關系變為線性關系，
令z=lny，則變換后樣本點分布在直線z=bx+c（c=lna）的附近，這樣可以利用線性回歸建立y與x的非線性回歸方程了．
變換的樣本點分布在一條直線的附近，因此可以用線性回歸方程來擬合．
由上表中的數據可得到變換的樣本數據表，如下表：

x	21	23	25	27	29	32	35
z	1.946	2.398	3.045	3.178	4.190	4.745	5.784

可以求得線性回歸直線方程

∧

z

=0.272x-3.843．
因此紅鈴蟲的產卵數對溫度的非線性回歸方程=e^0.272x-3.843．另一方面，可以認為圖中的樣本點集中在某二次曲線y=c₃x²+c₄的附近，其中c₃，c₄為待定參數，因此可以對溫度變量進行變換，即令t=x²，然后建立y與t之間的線性回歸方程，從而得到y與x之間的非線性回歸方程．
下表是紅鈴蟲的產卵數和對應的溫度的平方的線性回歸模型擬合表，作出相應的散點圖，如圖：

t	441	529	625	729	841	1 024	1 225
y	7	11	21	24	66	115	325

從圖中可以看出，y與t的散點圖并不分布在一條直線的周圍，因此不宜用線性回歸方程來擬合它，即不宜用二次函數y=c₃x²+c₄來擬合x與y之間的關系，因此利用y=ae^bx來擬合效果較好．
故答案為：②．