Question

如圖，設點P是橢圓上的任意一點（異于左，右頂點A，B）．
（1）若橢圓E的右焦點為F，上頂點為C，求以F為圓心且與直線AC相切的圓的半徑；
（2）設直線PA，PB分別交直線與點M，N，求證：PN⊥BM．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出直線AC的方程，由直線與圓心相切的性質可知，圓心到直線的距離等于半徑可求r
（2）要證明PN⊥BM，只要證明，先設P的坐標，及直線AP，BP與直線x=的交點M，N，由A，P，M三點共線可知AM，BM的斜率相等，AN，BN的斜率相等，結合點P在橢圓上，可尋求P，M，N的坐標的關系，代入即可證明
解答：（1）解：由題意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，1），F(xiàn)（，0），
直線AC的方程為x-2y+2=0（2分）
設圓F的半徑為r，則由以F為圓心的圓與直線AC相切可得圓心F到直線AC的距離為圓的半徑r
∴r==（5分）
（2）設P（x，y），直線AP，BP分別交直線x=于M（），N（）兩點
∵A，P，M三點共線
∴K_AP=K_AM即，整理可得，（7分）
同理可得，，整理可得，（9分）
∴
∵P（x，y）在橢圓上
∴即可得（11分）
∴=×=（13分）
∴=•=
==
=
=
=0
∴PN⊥BM
點評：本題主要考查了點到直線的距離公司的應用，三點共線性質的應用，直線與圓的相交關系的應用，及向量的數(shù)量積的性質在證明幾何關系中的應用，屬于綜合性試題