Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數在區間上的值域；

（2）當時，試討論函數的單調性；

（3）若對任意，存在，使得不等式成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）直接利用導數求函數的單調區間再求其值域.(2)對m分類討論，利用導數求函數的單調性.(3)先求得，轉化為，對任意恒成立，再構造函數，求其最小值得解.

（1）當時，函數，所以所以函數單調遞增，

故函數在區間上的最小值為最大值為，所以區間上的值域為

（2）

令得

當時，，由得或，由得，所以在區間和上，函數單調遞增，在區間上，函數單調遞減.

當時，，所以函數單調遞增.

當時，，由得或，由得，所以在區間和上，函數單調遞增，在區間上，函數單調遞減.

（3）由（2）知，當時，函數在上單調遞增，故當時，，因為對任意，存在，使得不等式成立，所以，得，對任意恒成立

記，則

當時，若則從而，所以函數在上單調遞增，所以當時，符合題意

若，則存在，使得，則在上單調遞減，在上單調遞增，從而當時，，說明當時，不恒成立，不符合題意

若，則在上單調遞減，所以當時，，不符和題意。綜上，實數的取值范圍是.