Question

【題目】連接球面上兩點(diǎn)的線(xiàn)段稱(chēng)為球的弦，半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長(zhǎng)度分別為2 和4 ，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，兩條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，有下面四個(gè)命題：
①弦AB、CD可能相交于點(diǎn)M；
②弦AB、CD可能相交于點(diǎn)N；
③MN的最大值是5；
④MN的最小值是1；
其中所有正確命題的序號(hào)為 ．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：②錯(cuò)誤．易求得M、N到球心O的距離分別為3、2，
若兩弦交于N，則OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．
分別取球O的兩條弦AB、CD的中點(diǎn)E、F，則OE= ，OF= ，
即可以看做弦AB、CD分別是球半徑為3和2的球的切線(xiàn)，且弦AB在半徑為2的球的外部，
弦AB與CD只可能相交與M點(diǎn)，且MN的最大距離為2+3=5，最小距離為3﹣2=1，當(dāng)M、O、N共線(xiàn)時(shí)分別取最大值5最小值1．
綜上可得正確的命題的序號(hào)為①③④．
所以答案是：①③④．
【考點(diǎn)精析】掌握空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系是解答本題的根本，需要知道相交直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線(xiàn)： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)．