Question

【題目】已知數(shù)列中，，且點(diǎn)在直線上．

⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

⑵若函數(shù)（，且），求函數(shù)的最小值；

⑶設(shè)，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，試問(wèn)：是否存在關(guān)于的整式，使得對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)恒成立？若存在，寫(xiě)出的解析式，并加以證明；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)；（2）；(3)，證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）將點(diǎn)代入直線得到，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，再由得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，

，，是單調(diào)遞增的，故的最小值是；（3）由（1）及，，即，，，最后將該式整理即可得出．

試題解析：⑴點(diǎn)在直線上，即，且，

數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，

，也滿足，

⑵，

，

，

是單調(diào)遞增的，故的最小值是．

⑶，，

即，，

，．

故存在關(guān)于的整式，使等式對(duì)于一切不小于的自然數(shù)恒成立．

法二：先由的情況，猜想出，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．