Question

【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為 ，（m為參數(shù)）．設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線C．（10分）
（1）寫(xiě)出C的普通方程；
（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線l1的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)），

∴消掉參數(shù)t得：直線l1的普通方程為：y=k（x﹣2）①；

又直線l2的參數(shù)方程為 ，（m為參數(shù)），

同理可得，直線l2的普通方程為：x=﹣2+ky②；

聯(lián)立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程為x2﹣y2=4；

（2）

∵l3的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，

∴其普通方程為：x+y﹣ =0，

聯(lián)立 得： ，

∴ρ2=x2+y2= + =5．

∴l(xiāng)3與C的交點(diǎn)M的極徑為ρ= ．

【解析】解：（1.）分別消掉參數(shù)t與m可得直線l1與直線l2的普通方程為y=k（x﹣2）①與x=﹣2+ky②；聯(lián)立①②，消去k可得C的普通方程為x2﹣y2=4；
（2.）將l3的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0化為普通方程：x+y﹣ =0，再與曲線C的方程聯(lián)立，可得 ，即可求得l3與C的交點(diǎn)M的極徑為ρ= ．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用極坐標(biāo)系和直線的參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線OX叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系；經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程可表示為（為參數(shù)）．