Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在與橢圓交于兩點(diǎn)的直線，使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，．

【解析】

試題分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出，，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓方程聯(lián)立方程，得到關(guān)于的一元二次方程，由根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)的取值范圍．

試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為，半焦距為．依題意，

由右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，得解得．所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．

（2）解：存在直線，使得成立．理由如下：

由得．

，化簡(jiǎn)得．

設(shè)，則．

若，所以，，

，，

化簡(jiǎn)得，，將代入中，，

解得．又由，，

從而，或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．