Question

已知定點A(0,1)、B(0，-1)、C(1,0)，動點P滿足：·=k||².

(1)求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線類型；

(2)當k=2時，求|2+|的最大、最小值.

Answer 1

解：(1)設動點坐標為P(x,y),則=(x,y-1), =(x,y+1), =(1-x,-y).

    ∵·=k|PC|²,

    ∴x²+y²-1=k［(x-1)²+y²］,

    (1-k)x²+(1-k)y²+2kx-k-1=0.

    若k=1，則方程為x=1,表示過點(1,0)且平行于y軸的直線.

    若k≠1，則方程化為(x+)²+y²=()².

    表示以(,0)為圓心，以為半徑的圓.

    (2)當k=2時，方程化為(x-2)²+y²=1,

    ∵2+=2(x,y-1)+(x,y+1)=(3x,3y-1),

    ∴|2+|=.

    又x²+y²=4x-3,

    ∴|2+|=.

    ∵(x-2)²+y²=1,

    ∴令x=2+cosθ,y=sinθ.

    則36x-6y-26=36cosθ-6sinθ+46=6cos(θ+φ)+46∈［46-6,46+6］.

    ∴|2+|的最大值為=3+，最小值為=-3.