Question

已知f（x）=log_a（a-a^x）（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）當a＞1時，若不等式f^-1（x²-mx+4）＞f（x）在x∈[-3，-1]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于是對數函數，故其真數大于0，再對a進行分類討論；
（2）不等式f^-1（x²-mx+4）＞f（x）在x∈[-3，-1]上恒成立等價于不等式x²-mx+4＜x在x∈[-3，-1]上恒成立，從而分離參數m＜

x2-x+4

x

=x+

4

x

-1在x∈[-3，-1]上恒成立，從而可求實數m的取值范圍．

解答：解：（1）當0＜a＜1時，由a-a^x＞0得x＞1，此時定義域為（1，+∞）；
當a＞1時，由a-a^x＞0得x＜1，此時定義域為（-∞，1）．
（2）令y=log_a（a-a^x），則a^y=a-a^x，解得x=log_a（a-a^y），
所以f^-1（x）=log_a（a-a^x）（a＞0，x＜1）
又因為函數y=log_a（a-a^x）（a＞0，x＜1）在定義域上單調遞減，于是不等式f^-1（x²-mx+4）＞f（x）在x∈[-3，-1]上恒成立等價于不等式x²-mx+4＜x在x∈[-3，-1]上恒成立．
由于x∈[-3，-1]，所以m＜

x2-x+4

x

=x+

4

x

-1在x∈[-3，-1]上恒成立．
因函數y=x+

4

x

-1在區間[-3，-1]上的最小值為-6，所以m＜-6．

點評：本題以對數函數為載體，考查函數的定義域，考查恒成立問題的處理，考查分離參數法，考查利用基本不等式求最值．