Question

如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，已知PB＝PD＝2，PA＝.
 
(1)證明：PC⊥BD；
(2)若E為PA的中點，求三棱錐P－BCE的體積．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)證明：連接AC，交BD于點O，連接PO.
因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.
由PB＝PD知，PO⊥BD.
又因為PO∩AC＝O，所以BD⊥平面APC.
又PC?平面APC，因此BD⊥PC.

(2)因為E是PA的中點，
所以V_{三棱錐P－BCE}＝V_{三棱錐C－PEB}＝ V_{三棱錐C－PAB}＝ V_{三棱錐B－APC}.
由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.
因為∠BAD＝60°，
所以PO＝AO＝，AC＝2 ，BO＝1.
又PA＝，所以PO²＋AO²＝PA²，所以PO⊥AC，
故S_△APC＝ PO·AC＝3.
由(1)知，BO⊥平面APC，
因此V_{三棱錐P－BCE}＝ V_{三棱錐B－APC}＝··BO·S_△APC＝.