Question

（本小題滿分12分）
如圖，在三棱錐D－ABC中，已知△BCD是正三角
形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點，
F在棱AC上，且AF＝3FC．
（1）求三棱錐D－ABC的表面積；
（2）求證AC⊥平面DEF；
（3）若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，
使MN∥平面DEF？若存在，說明點N的位置；若不
存在，試說明理由．

Answer 1

解（證明）（1）因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD．
因為△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，所以AD＝AC＝．
設G為CD的中點，則CG＝，AG＝．
所以，，．
三棱錐D－ABC的表面積為
（2）取AC的中點H，因為AB＝BC，所以BH⊥AC．
因為AF＝3FC，所以F為CH的中點．
因為E為BC的中點，所以EF∥BH．則EF⊥AC．
因為△BCD是正三角形，所以DE⊥BC．
因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥DE．
因為AB∩BC＝B，所以DE⊥平面ABC．所以DE⊥AC．
因為DE∩EF＝E，所以AC⊥平面DEF
（3）存在這樣的點N，
當CN＝時，MN∥平面DEF．
連CM，設CM∩DE＝O，連OF．
由條件知，O為△BCD的重心，CO＝CM．
所以當CF＝CN時，MN∥OF．所以CN＝

解析