Question

在海岸A處，發現北偏東45°方向，距離A為(

3

-1)n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距離A為2n mile的C處有一艘緝私艇奉命以10

3

n mile/h的速度追截走私船，此時，走私船正以10n mile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時間．（本題解題過程中請不要使用計算器，以保證數據的相對準確和計算的方便）

Answer 1

分析：在△ABC中，∠CAB=120°由余弦定理可求得線段BC的長度；在△ABC中，由正弦定理，可求得sin∠ACB；設緝私船用t h在D處追上走私船，CD=10

3

t，BD=10t，在△ABC中，可求得∠CBD=120°，再在△BCD中，由正弦定理可求得sin∠BCD，從而可求得緝私艇行駛方向，在△BCD中易判斷BD=BC，由t=

BD

10

即可得到追緝時間．

解答：解：在△ABC中，∠CAB=45°+75°=120°，
由余弦定理，得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠CAB
=(

3

-1)2+2²-2×(

3

-1)×2×（-

1

2

）=6，
所以，BC=

6

．
在△ABC中，由正弦定理，得

AB

sin∠ACB

=

BC

sin120°

，
所以，sin∠ACB=

AB•sin120°

BC

=

3 -1

2 2

=

6 - 2

4

．
又∵0°＜∠ACB＜60°，∴∠ACB=15°．
設緝私船用t h在D處追上走私船，如圖，
則有CD=10

3

t，BD=10t．
又∠CBD=90°+30°=120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD=

BD•sin∠CBD

CD

=

10t•sin120°

10 3 t

=

1

2

．
∴∠BCD=30°，
又因為∠ACB=15°，
所以180⁰-（∠BCD+∠ACB+75°）=180°-（30°+15°+75°）=60°，
即緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船．?
在△BCD中，∴∠BCD=30°，∠CBD=90°+30°=120°，
∴∠CDB=30°，∴BD=BC=

6

，
則t=

6

10

，即緝私艇最快追上走私船所需時間

6

10

h．

點評：本題考查余弦定理與正弦定理在解決實際問題中的應用，考查解三角形，考查綜合分析與運算能力，屬于難題．