Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)， 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行．

（1）求的值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)．證明：對(duì)任意， ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)可得 ；（2）由（1）知， ．設(shè),再利用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行求解；（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)， ，故只需證明在時(shí)成立,再利用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行證明．

試題解析：（1），由已知， ， ．

（2）由（1）知， ．

設(shè)，則，即在上是減函數(shù)，

由知，當(dāng)時(shí)，從而，

當(dāng)時(shí)，從而，

綜上可知， 的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．

（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)， ，

故只需證明在時(shí)成立．

當(dāng)時(shí)， ，且， ．

設(shè)， ，則，

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

所以當(dāng)時(shí)， 取得最大值．

所以．

綜上，對(duì)任意， ．