Question

甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)束相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判.
（Ⅰ）求第4局甲當(dāng)裁判的概率；
（Ⅱ）X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

（Ⅰ）記表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”，
表示事件“第3局甲參加比賽時(shí)，結(jié)果為甲負(fù)”，
A表示事件“第4局甲當(dāng)裁判”.
則.                              3分
.           6分
（Ⅱ）X的可能取值為0,1,2.
記表示事件“第3局乙和丙比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝丙”，
表示事件“第1局結(jié)果為乙勝丙”，
表示事件“第2局乙和甲比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝甲”，
表示事件“第3局乙參加比賽時(shí)，結(jié)果為乙負(fù)”.
則
，
，    10分
.    12分
（1）利用獨(dú)立事件的概率公式求解，關(guān)鍵是明確A表示事件“第4局甲當(dāng)裁判”和表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”， 表示事件“第3局甲參加比賽時(shí)，結(jié)果為甲負(fù)”之間個(gè)獨(dú)立關(guān)系；（2）明確X的可能取值，然后利用獨(dú)立事件和互斥事件的公式逐一求解.因當(dāng)x=1時(shí)較為復(fù)雜，故采用對(duì)立事件概率問(wèn)題進(jìn)行求解，即
【考點(diǎn)定位】本題考查獨(dú)立事件和互斥事件的概率問(wèn)題已經(jīng)離散型數(shù)學(xué)期望，考查分析問(wèn)題和計(jì)算能力.