Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側面底面，且，，分別為棱，的中點.

（1）求證：；

（2）求異面直線與所成角的余弦值；

（3）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（3）

【解析】

（1）以，所在直線分別為軸和軸建立空間直角坐標系，利用向量數量積運算證明即可；

（2）將向量用坐標表示，然后結合向量數量積運算即可得解；

（3）由向量投影的幾何意義可得點到平面的距離，再求解即可.

（1）證明：由題意可得：側面底面，

取中點，

因為，

則交線，

所以底面，

如圖，以，所在直線分別為軸和軸建立空間直角坐標系，

則，，，，1，，，1，，，，，，0，，

，，，

則，

則，

所以；

（2）解：

設異面直線與所成角為，

則.

所以異面直線與所成角的余弦值為；

（3）解：因為.

設平面的一個法向量為，，，

由，得，

取，得，.

所以，

又，

所以點到平面的距離.