Question

【題目】已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時，證明：對；

（2）若函數(shù)在上存在極值，求實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，進而求得函數(shù)的最小值，得到要證明的結(jié)論；

（2）問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解，法一：對a分類討論，分別研究a的不同取值下，導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及值域，從而得到結(jié)論.法二：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域，再利用零點存在定理說明函數(shù)存在極值．

(1)當(dāng)時，，于是，.

又因為，當(dāng)時，且.

故當(dāng)時，，即.

所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，于是，.

因此，對，；

(2) 方法一：由題意在上存在極值，則在上存在零點，

①當(dāng)時，為上的增函數(shù)，

注意到，，

所以，存在唯一實數(shù)，使得成立.

于是，當(dāng)時，，為上的減函數(shù)；

當(dāng)時，，為上的增函數(shù)；

所以為函數(shù)的極小值點；

②當(dāng)時，在上成立，

所以在上單調(diào)遞增，所以在上沒有極值；

③當(dāng)時，在上成立，

所以在上單調(diào)遞減，所以在上沒有極值，

綜上所述，使在上存在極值的的取值范圍是.

方法二：由題意，函數(shù)在上存在極值，則在上存在零點.

即在上存在零點.

設(shè)，，則由單調(diào)性的性質(zhì)可得為上的減函數(shù).

即的值域為，所以，當(dāng)實數(shù)時，在上存在零點.

下面證明，當(dāng)時，函數(shù)在上存在極值.

事實上，當(dāng)時，為上的增函數(shù)，

注意到，，所以，存在唯一實數(shù)，

使得成立.于是，當(dāng)時，，為上的減函數(shù)；

當(dāng)時，，為上的增函數(shù)；

即為函數(shù)的極小值點.

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上存在極值.